■ 统考题 ■

mathlim

看到几道统考题，觉得满经典的，想与大家讨论解法。

1。已知 α + β = π/3，求
      a) cos²α + cos²β 的最大值。
      b) cos²α + cos²β 的最小值。

2。已知A(2, 1), B(-1, 5)。直线 2x - y + 4 = 0 交线段AB于P，
      求P内分AB所成的比。

注：以上皆为选择题。

dunwan2tellu

忍不住来做了哈哈

1）我发现2种做法

First : 注意到 cos²α + cos²β = cos²((α-β)/2) + 1/2

Second : 注意到 cos²α + cos²β = 1/2 * cos(α-β) + 1

First method 是观察到 a²+b²=(a+b)² - 2ab
Second Method 是 direct substitute α = π/3 - β 来做

2）先设 AP : PB = m : n  , 那么 P = ( (2n-m)/(m+n) , (5m+2n)/(m+n) ) . 然后带入 2x - y + 4 = 0 得到 7n = 3m  => m : n = 7 : 3

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 10-9-2008 05:23 PM 编辑 ]

mathlim

我的做法：

1）
α = β = π/6
cos²α + cos²β 有最大值 3/2。

α = 2π/3, β = -π/3
cos²α + cos²β 有最小值 1/2。

2）
| 2×2 - 1 + 4 | : | 2×(-1) - 5 + 4 | = 7 : 3

详圣

d (cos²(π/3-β) + cos²β) / dβ  = 2cos (π/3-β) sin (π/3-β) - 2 cosβ sin β
当
2cos (π/3-β) sin (β-π/3) - 2 cosβ sin β = 0
sin 2(π/3-β) - sin 2β = 0
2 sin (2π/3 - 4β)/2 cos (-(2π/3)/2) = 0
sin (4β - 2π/3) = 0
(4β - 2π/3)  = kπ
当 4β - 2π/3 = 0
β = π/6
当 4β - 2π/3 = π
β = 5π/12
cos² π/6 + cos² π/6 = 1/2 (最小)
cos² (-π/12) + cos² 5π/12 =
cos² (-π/12) + sin² ( π/2 - 5π/12) =
cos² (π/12) + sin² (π/12)  = 1 (最大)

我没看过推荐的解法 >< 。。但是我每次用这招。。

mathlim

原帖由 详圣 于 12-9-2008 11:32 AM 发表
d (cos&sup2;(π/3-β) + cos&sup2;β) / dβ  = 2cos (π/3-β) sin (π/3-β) - 2 cosβ sin β
当
2cos (π/3-β) sin (β-π/3) - 2 cosβ sin β = 0
sin 2(π/3-β) - sin 2β = 0
2 sin (2π/3 - 4β)/2 cos (-(2π/3)/2) = 0
sin (4β - 2π/3) = 0
(4β - 2π/3)  = kπ
当 4β - 2π/3 = 0
β = π/6
当 4β - 2π/3 = π
β = 5π/12
cos&sup2; π/6 + cos&sup2; π/6 = 1/2 (最小)
cos&sup2; (-π/12) + cos&sup2; 5π/12 =
cos&sup2; (-π/12) + sin&sup2; ( π/2 - 5π/12) =
cos&sup2; (π/12) + sin&sup2; (π/12)  = 1 (最大)

(4β - 2π/3)/2 = nπ
当 2β - π/3 = π
β = 2π/3
cos&sup2; (-π/3) + cos&sup2; 2π/3
=  3/2 (最大)

DADDY_MUMMY

设y=mx
2x+mx=12
x(m+2)=12
x=12/(m+2) ; y=12m/(m+2)
m={1,2,3,4,6,12}
m=1 , x=4 ; y=4
m=2 , x=3 ; y=6
m=3, x=2.4 ; y=7.2
m=4 , x=2 ; y=8
m=6 , x=1.5 ; y=9
m=12 , x=6/7 ; y=72/7
由此得知，x=3 ; y=6 能得到最小值2/3=0.667

DADDY_MUMMY

题目好像不见了

mathlim

已知 x > 0, y > 0, 且 2x + y = 12,
求 1/x + 2/y 的最小值。

1/x + 2/y = (2x + y) / xy = 12 / xy = 24 / (2x)y
最小值出现在当 2x = y 时，即 2x = y = 6 得 x = 3,
∴ 1/x + 2/y 的最小值为 1/3 + 2/6 = 2/3。

mathlim

原帖由 DADDY_MUMMY 于 29-9-2008 03:26 PM 发表
设y=mx
2x+mx=12
x(m+2)=12
x=12/(m+2) ; y=12m/(m+2)
m={1,2,3,4,6,12}
m=1 , x=4 ; y=4
m=2 , x=3 ; y=6
m=3, x=2.4 ; y=7.2
m=4 , x=2 ; y=8
m=6 , x=1.5 ; y=9
m=12 , x=6/7 ; y=72/7
由此得知，x=3 ; y=6 能得到最小值2/3=0.667

你怎么知道 y = mx？
m ∈{1,2,3,4,6,12}？
为什么呢？题目没有规定 x, y 是正整数。
怎么知道当 x = 3, y = 6 时能得到最小值呢？
如果是一个一个试，那么又何必引入m呢？

DADDY_MUMMY

原帖由 mathlim 于 29-9-2008 10:10 PM 发表


1/x + 2/y = (2x + y) / xy = 12 / xy = 24 / (2x)y
最小值出现在当 2x = y 时，即 2x = y = 6 得 x = 3,
∴ 1/x + 2/y 的最小值为 1/3 + 2/6 = 2/3。

你又得知？

DADDY_MUMMY

原帖由 mathlim 于 29-9-2008 10:16 PM 发表


你怎么知道 y = mx？
m ∈{1,2,3,4,6,12}？
为什么呢？题目没有规定 x, y 是正整数。
怎么知道当 x = 3, y = 6 时能得到最小值呢？
如果是一个一个试，那么又何必引入m呢？

因为我怕错。。。
用两个方法来确定一下。
通常我是这样做的哦，那你有例子能让我做到m不一定是整数吗？
y=mx是最基本的（也是唯一会的 ）

mathlim

我只要把条件改成2x+y=11就可以了。

mathlim

(x - y)&sup2; ≥ 0
x&sup2; - 2xy + y&sup2; ≥ 0
x&sup2; + y&sup2; ≥ 2xy
等式成立于 x = y 时，
即最大值或最小值在x = y时。
如果 xy 是定值，x&sup2; + y&sup2; 有最小值 2xy。
如果 x&sup2; + y&sup2; 是定值，xy 有最大值 ( x&sup2; + y&sup2; )/2 。

[ 本帖最后由 mathlim 于 30-9-2008 06:57 PM 编辑 ]

mathlim

已知 x > 0, y > 0, 且 2x + y = 12,
求 1/x + 2/y 的最小值。

普通解法：

1/x + 2/y
= (2x + y) / xy
= 12 / xy
= 12 / x(12-2x)
= 6 / ( 6x - x&sup2; )
= 6 / [-(x-3)&sup2;+9]

当 x = 3 时, 1/x + 2/y 有最小值为 6/9 = 2/3。

DADDY_MUMMY

用回这个方法，
再用2x+y=11的问题，
1/x+2/y
=11/[121/8 - 2(x-11/4)&sup2;]
当x=11/4,就会得到最小值8/11

引用回第8的例子，也能到到同样的答案
获益不少，谢谢分享。

mathlim

原帖由 mathlim 于 10-9-2008 10:11 AM 发表
1。已知 α + β = π/3，求
      a) cos&sup2;α + cos&sup2;β 的最大值。
      b) cos&sup2;α + cos&sup2;β 的最小值。

这一道题就是利用上述的方法。
当 α = β =  π/6 时，cos&sup2;α + cos&sup2;β 有最大值。
如果我们找当 cosα = cosβ 时，
还可以找到 α = 2π/3，β = -π/3 或 α = -π/3，β = 2π/3，
而此时，cos&sup2;α + cos&sup2;β 有最小值。

DADDY_MUMMY

原帖由 mathlim 于 30-9-2008 06:22 AM 发表
(x - y)&sup2; ≥ 0
x&sup2; - 2xy + y&sup2; ≥ 0
x&sup2; + y&sup2; ≥ 2xy
等式成立于 x = y 时，
即最大值或最小值在x = y时。
如果 xy 是定值，x&sup2; + y&sup2; 有最小值 2xy。
如果 x&sup2; + y&sup2; ...

如果说x&sup2; + y&sup2; ≥ 2xy，
那我们能不能说

[ 本帖最后由 DADDY_MUMMY 于 3-10-2008 09:40 PM 编辑 ]

mathlim

x^3 + y^3 + z^3 ≥ 3xyz (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)

a1 + a2 + a3 + ... + an ≥ n (a1a2a3...an)^(1/n)
ai ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n

mathlim

原帖由 DADDY_MUMMY 于 3-10-2008 09:34 PM 发表
如果说x&sup2; + y&sup2; ≥ 2xy，
那我们能不能说

你只要取 x = y = z = 1，就可以发现是不成立的了。

DADDY_MUMMY

原帖由 mathlim 于 3-10-2008 09:57 PM 发表
x^3 + y^3 + z^3 ≥ 3xyz (x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0)

a1 + a2 + a3 + ... + an ≥ n (a1a2a3...an)^(1/n)
ai ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n

所以(n_1)^x + (n_2)^x + ... + (n_x)^x≥ x(n_1)(n_2)...(n_x)
对吗？