■ 无理数与有理数 ■

mathlim

最近，一个在新加坡留学的学生遇到的题目。
我觉得满有趣的，与大家分享。

有理数^有理数 = ？
有理数^无理数 = ？
无理数^有理数 = ？
无理数^无理数 = ？

这些运算结果是什么数呢？
可以举例说明。

多普勒效应

我想问一个问题: 我们如何定义"无理次方"呢?

我们知道:
若 r 是实数, p为正整数, r^p 就是 p 个 r 的乘积, r^(1/p) 则是 p 次方为 r 的正数, r^(-p) 则是 1/r^p
若 r 是实数, p 为整数, q 为正整数, 且 gcd(p,q) = 1, 则定义 r^(p/q) 为 q 次方为 r^p 的正数.
按照上述定义, r^s 当 s 为有理数就很清楚地定义了.

可是, 数学上又是如何定义 r^s 当 s 为无理数呢?

yaahoo

原帖由 多普勒效应 于 13-8-2008 02:52 PM 发表
我想问一个问题: 我们如何定义"无理次方"呢?

我们知道:
若 r 是实数, p为正整数, r^p 就是 p 个 r 的乘积, r^(1/p) 则是 p 次方为 r 的正数, r^(-p) 则是 1/r^p
若 r 是实数, p 为整数, q 为正整数, 且 gcd(p,q ...

问得非常好。这是马来西亚中学数学课程，甚至于是大学数学课程的一个盲点。
马来西亚的数学教育系统几乎从来都不提这个问题。
愿先听听大家的猜想！

多普勒效应

我的想法是来自计算机如何计算随便打入 3^e 这种无理次方的数值. 我猜计算机是拿 e 的一个近似值, 例如取 e 八位有效数字, 然后用此近似值再计算 3^e 的近似值.

对于 r^s ( s 是无理数, r 为实数) 的定义法, 我猜是运用极限吧!
由于Q dense in R, 对于任意实数 s ( s 可以是无理数), 必存在有理数数列 {q_i} 满足 q_i -> s.
这时, 我们就定义 r^s = lim_{i-> infinity} r^{q_i}.
简单来说, 如过这个方法是没有错的, 无理数次方是直接"依赖"有理数次方.

多普勒效应

不知道上一楼那个想法有没有错误

mathlim

其实在很久以前，
我也想过这个问题，
昨天再重新思考。
今早看到多普勒效应的回复，
我的想法与多普勒效应是一致的。

mathlim

我先讨论有理数^有理数的情况：

有理数^有理数 = 有理数
例：2^3 = 8

有理数^有理数 = 无理数
例：3^(1/2) = √3

TCLGT

无理数^有理数 =？
不一定是有理数，也不一定是无理数
因为 sqrt 3^2=3 (有理数）
        sqrt 3^ 1/2= 3^1/4(无理数）

多普勒效应

数学家 Aleksandr Gelfond 与 Theodor Schneider 在解答 "希尔伯特 (Hilbert) 第七问题" 时证明了 e^(pi) 是无理数!
所以 无理数的无理数次方 可以是无理数!

[ 本帖最后由 多普勒效应 于 14-8-2008 10:48 PM 编辑 ]

mathlim

那个新加坡的题目，
其实只是要找出无理数^无理数=有理数的例子。

多普勒效应

mathlim

我想到(无理数^无理数=有理数)的例子：

e^ln2 = 2

10^log3 = 3

chingjun

我的教授告诉过我，数学上是有定义无理数^无理数的。。
不过。。。好像超出了本科的水准。。。所以我不懂，而且我不是学数学的

hamilan911

原帖由 mathlim 于 15-8-2008 11:27 AM 发表
我想到(无理数^无理数=有理数)的例子：

e^ln2 = 2

10^log3 = 3

10是有理数

我的想法基本上和多普勒一样

generalization
设n为非平方数,且q*sqrtn一定是无理数
sqrtp^sqrtn可以是有理数或无理数

[sqrtp^sqrtn]^ (q*sqrtn) = (sqrtp)^qn

只要qn是偶数，则(sqrtp)^qn是有理数
即q或n的当中一个是偶数即可

~HeBe~_@

我再给多一个例子：
无理数^无理数=有理数

e^(2 pi i) = 1

多普勒效应

2 pi i 是虚数wor...

~HeBe~_@

虚数不可以是无理数吗？

多普勒效应

err.. Q (有理数集) 是 R 的子集, 因此 R\Q (无理数集) 也是 R 的子集.

~HeBe~_@

其实，我也把这个答案让prof.看一看，他说可以这么说哦。。
无理数^无理数=有理数
e^(2 pi i) = 1

那我也不晓得了。。这里有几个帖也是有同个问题。

http://www.tpub.com/math1/16.htm
http://www.physicsforums.com/archive/index.php/t-243495.html

多普勒效应

看看这一个: http://en.wikipedia.org/wiki/Irrational_number

"In mathematics, an irrational number is any real number that is not a rational number", 所以 2 pi i 不是无理